La répartition proportionnelle optimale

 

 

Nous prendrons pour sujet d’étude la répartition de 11 sièges de députés entre 4 partis dans un département peuplé d’environ 1 300 000 habitants. On commence par répartir les sièges au prorata du nombre de suffrages recueillis par chaque parti, d’une manière rigoureusement proportionnelle. Comme il n’y a pas de miracle, chaque parti se voit attribuer un nombre fractionnaire de sièges que nous appellerons sa quote‑part. Vu la manière dont sont calculées ces quote‑parts, leur somme est un nombre entier (égal à 11 dans notre exemple).

 

 

A

B

C

D

Total

suffrages

81 789

82 386

82 983

409 542

656 700

Q

1,37

1,38

1,39

6,86

11

 

Tout le problème consiste donc à remplacer ces quote‑parts (Q) par des nombres entiers de sièges (S) en respectant deux contraintes :

1.– la somme des sièges doit être égale à celle des quote‑parts ;

2.– les écarts entre les Q et les S doivent être aussi petits que possible, étant entendu que cette formulation demande à être précisée.

 

 

Méthode de l’écart absolu

 

(dite, traditionnellement, méthode au plus fort reste)

 

La première idée qui vient à l’esprit est de chercher à minimiser les écarts absolus e = |Q-S|. L’idéal serait que nous puissions arrondir chaque quote‑part à l’entier le plus proche. C’est malheureusement impossible car, en procédant ainsi, on répartit généralement soit trop de sièges, soit pas assez (comme dans notre exemple). Ce qu’il est possible de faire, par contre, à défaut de minimiser chaque écart, c’est au moins de minimiser leur somme. On admettra que, de cette manière, on minimise l’écart global entre la série des Q et celle des S.

On démontre que c’est ce que réalise la méthode de l’écart absolu ou méthode au plus fort reste. Elle commence par arrondir tous les Q à l’entier immédiatement inférieur. Il reste alors des sièges à répartir, qui sont attribués, un à un, au plus fort reste : R = Q-S (formule dans laquelle S désigne le nombre de sièges déjà acquis). On aboutit à la répartition suivante :

 

 

A

B

C

D

Total

Q

1,37

1,38

1,39

6,86

11

S

1

1

2

7

11

e

0,37

0,38

0,61

0,14

1,50

 

La dernière ligne du tableau indique, pour chaque parti, son écart absolu : e = |Q-S|. La somme de tous ces écarts vaut 1,50 et elle serait plus élevée pour toute autre répartition des sièges.

 

Malheureusement, cette méthode de répartition est incohérente. Dans certains cas, le fait d’augmenter le nombre total de sièges à répartir peut avoir pour conséquence de faire baisser le nombre de sièges attribués à l’un des partis (paradoxe de l’Alabama). Et ce n’est qu’un exemple, car on peut tomber sur d’autres paradoxes1. Toutes ces aberrations proviennent de ce que la méthode est fondée sur l’écart absolu.

 

1.– cf. L’égalité du vote.

 

Méthode de l’écart relatif

 

(dite, traditionnellement, méthode à la plus forte moyenne)

 

On considère, pour chaque parti, son rapport de proportionnalité S/Q. Une quote‑part Q = 2,5 sera généralement arrondie à S = 2 ou à S = 3 et son rapport de proportionnalité vaudra 0,8 ou 1,2. Ce rapport nous indique ainsi directement que le parti a obtenu un nombre de sièges soit inférieur de 20% soit supérieur de 20% à sa quote‑part. L’idéal est cette fois que tous les rapports de proportionnalité soient aussi proches que possible de 1. On cherche donc à minimiser les écarts relatifs :

 

      |Q – S|

e = –––––

     Q

 

Comme précédemment, il est généralement impossible de les minimiser tous, mais on peut au moins minimiser leur somme.

 Pour y parvenir, on répartit directement la totalité des sièges, un à un, du premier au dernier, au plus fort critérium :

 

       |Q-S| - |S+1-Q|

∆ = ––––––––––––

      Q

 

formule dans laquelle S désigne encore le nombre de sièges déjà acquis

à chaque parti avant l’attribution du siège en jeu. (Au départ, S=0.)

 

Dans notre exemple, on aboutit cette fois à une répartition légèrement différente :

 

 

A

B

C

D

Total

Q

1,37

1,38

1,39

6,86

11

S

1

1

1

8

11

e

0,270

0,275

0,281

0,166

0,992

 

La somme des écarts relatifs vaut 0,992 et, la méthode étant expressément conçue pour cela, toute autre répartition des sièges aboutirait à une somme des écarts plus élevée. En outre, et contrairement à la méthode de l’écart absolu (ou méthode au plus fort reste), la méthode de l’écart relatif est parfaitement cohérente : elle ne conduit jamais au moindre paradoxe.

 

Remarque : comme on le voit sur notre exemple, il arrive, même si c’est rare, que S s’éloigne de Q de plus d’une unité, dans un sens ou dans l’autre. C’est pourquoi on ne peut pas commencer par arrondir toutes les quote‑parts par défaut.

 

*

*     *

 

La méthode de Webster

 

(dite aussi : méthode de Sainte‑Lagüe)

 

Dans la situation électorale a priori, on considère une infinité de quote‑parts régulièrement espacées entre les bornes de tout intervalle [S ; S+1]. On peut alors arrondir toute quote-part soit à l’entier immédiatement inférieur, soit à l’entier immédiatement supérieur. Dans cette situation, les barres de valeur absolue du critérium ∆ peuvent être supprimées et il se simplifie en :

 

       Q

∆ = ––––

       S+½

ou encore :

      Suffrages recueillis

∆ = ––––––––––––––

      S+½

 

On reconnaît le critérium de la méthode de Webster, ou méthode de Sainte‑Lagüe, laquelle s’avère n’être qu’une dégénérescence de la méthode de l’écart relatif, mais une dégénérescence qui n’est légitime qu’a priori. Dans une situation électorale réelle, la méthode de Webster ne minimise pas toujours la somme des écarts relatifs. Dans l’exemple qui nous sert de sujet d’étude, elle aboutit en fait à la même répartition que la méthode du plus fort reste. Précisons cependant que notre sujet d’étude est un exemple ad hoc et que la méthode de Webster aboutit presque toujours à la même répartition que la méthode de l’écart relatif.

 

 

Les autres méthodes de plus forte moyenne

 

La méthode de Webster n’est que l’une des méthodes à la plus forte moyenne lato sensu. Les autres n’en diffèrent que par le diviseur du discriminant ∆ et toutes ces méthodes à la plus forte moyenne sont d’ailleurs également désignées comme méthodes de diviseurs. Le tableau ci‑dessous liste les principales ; il indique la valeur du diviseur (D) pour une quote‑part comprise dans l’intervalle [S ; S+1] et, à titre d’exemple, dans l’intervalle [6 ; 7] :

 

 

  méthode de Jefferson = méthode d’Hondt

 

  diviseur par excès

 

  D = S+1

 

  D = 7,00

 

  méthode de Webster = méthode de Sainte‑Lagüe

 

  diviseur arithmétique

 

  D = S+½

 

  D = 6,50

 

 

  méthode de Hill = méthode de Huntington

 

  diviseur géométrique

                                                                                             

  D = √S∙(S+1)

 

  D = 6,48

 

  méthode de Dean

 

  diviseur harmonique

 

  D = S∙(S+1)/(S+½)

 

  D = 6,46

 

  méthode d’Adams = méthode de la tranche

 

  diviseur par défaut

 

  D = S

 

  D = 6,00

 

La méthode d’Adams est utilisée, en France, pour la répartition des circonscriptions législatives entre les départements, au prorata de la population. Elle est définie officiellement comme méthode de la tranche. La méthode à la plus forte moyenne, stricto sensu, désigne la méthode de Jefferson ou méthode d’Hondt. À l’exception de la méthode de Webster qui, on l’a vu, n’est que la simplification a priori de la méthode de l’écart relatif, toutes les autres sont des bricolages sans fondement mathématique et toutes sont biaisées à des degrés divers. Voici la valeur du biais de chacune dans l’intervalle de quote‑parts [1 ; 2] : 

 

Jefferson

Webster

Hill

Dean

Adams

– 33%

0%

+ 6%

+ 11%

+ 33%

 

Expliquons cette histoire de biais, qui fait toujours référence à la situation a priori. Pour une méthode à la plus forte moyenne, la limite d’arrondi a priori est égale au diviseur. Dans l’intervalle de quote‑parts [1 ; 2] la méthode de Webster arrondit à 1 toutes les quote‑parts inférieures à 1,5 et à 2 toutes celles qui sont supérieures à cette valeur limite. La méthode de Jefferson arrondit toutes les quote‑parts à 1 et la méthode d’Adams les arrondit toutes à 2. Si l’on pense à la répartition des circonscriptions entre les départements, on comprend que les petits départements sont fortement avantagés par la méthode d’Adams (elle leur offre 33% de sièges de plus que la somme de leurs quotes‑parts) et désavantagés d’autant par la méthode de Jefferson. C’est naturellement le contraire pour les plus grands départements car, le total de sièges répartis étant fixe, tout ce qui est offert aux plus petits est retiré aux plus grands et inversement.

 

Outre la méthode de l’écart relatif, il existe de nombreuses méthodes non biaisées, à commencer par celle de Webster et celle au plus fort reste. Certes, cette dernière est incohérente, mais elle n’avantage ni les grands, ni les petits partis. Si l’on affirme traditionnellement le contraire, c’est par comparaison avec la méthode de la plus forte moyenne stricto sensu (i.e. : la méthode de Jefferson) qui, elle, avantage fortement les plus grands. En fait, dans la situation a priori, toutes les méthodes non biaisées perdent leur spécificité et se fondent en une méthode unique, simplement définie par le fait que la limite d’arrondi a priori est égale à (S+½) dans tout intervalle [S ; S+1]. Mais chacune retrouve sa particularité dans une situation électorale réelle et seule la méthode de l’écart relatif minimise toujours l’écart global par rapport à la répartition rigoureusement proportionnelle.

 

La méthode outrepassée

 

La limite d’arrondi a priori de toute méthode non biaisée, dans l’intervalle de quote‑parts [0 ; 1] est égale à 0,5 ce qui signifie qu’un parti dont la quote‑part est inférieure à cette valeur ne se voit attribuer aucun député. (Dans une situation électorale réelle, les limites d’arrondi peuvent varier légèrement.) S’agissant de la répartition des circonscriptions entre les départements ou assimilés, comme Saint‑Pierre et Miquelon, il est bien évident que tous doivent obtenir au moins un député. On outrepasse alors la méthode en attribuant d’office un siège à chaque département et seuls les sièges restants sont répartis au plus fort critérium ∆.

 

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*     *

 

Thomas Jefferson (3ème président des États‑Unis)  proposa sa méthode en 1792. Peu de temps après, John Adams (2ème président des États‑Unis) présenta la sienne. Dans les années 1830, parurent celles de Daniel Webster (sénateur du Massachusetts) et de James Dean (Dartmouth College). En 1911, Joseph Hill (U.S. Census Bureau) publia la sienne. Certaines de ces méthodes furent analysées et commentées par Edward Huntington (université de Hardvard), Victor d’Hondt (université de Gand) et André Sainte‑Lagüe (Cnam).

 

 

 

Remarque : pour une présentation et une analyse plus détaillée, voir L’égalité du vote.